El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) es un número irracional, representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
Durante más de 2,400 años el ser humano ha tenido especial fascinación por este número. De acuerdo con Mario Livio, un astrofísico israelí:
Algunas de las mentes matemáticas más grandes de todos los tiempos, desde Pitágoras y Euclides en la antigua Grecia, pasando por el matemático medieval italiano Leonardo de Pisa y el astrónomo renacentista Johannes Kepler, hasta figuras científicas actuales como el físico de Oxford Roger Penrose, han pasado horas interminables estudiando sobre esta simple relación y sus propiedades. Pero la fascinación por la Proporción Dorada no se limita solo a los matemáticos. Biólogos, artistas, músicos, historiadores, arquitectos, psicólogos e incluso místicos han meditado y debatido la base de su ubicuidad y atractivo. De hecho, es probable que sea justo decir que la Proporción Dorada ha inspirado a pensadores de todas las disciplinas como ningún otro número en la historia de las matemáticas. (fuente: Wikipedia)
En la Grecia Antigua los matemáticos estudiaban la proporción áurea dada su profusa aparición en geometría. La división de una línea en «proporción extrema y media» (la sección dorada) es importante en la geometría de los pentagramas y pentágonos regulares. Se supone que sobre el siglo V a.C. el matemático Hippasus descubrió que la proporción áurea no era un número entero ni una fracción para sorpresa de los Pitagóricos. En su obra Los Elementos, Euclides (c. 300 aC) nos propone varias pruebas de uso de la proporción áurea y la primera definición de la misma de la que tenemos constancia:
Un segmento se dice que está dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor como la parte mayor a la menor.
Euclides (Los Elementos: Libro IV, Definición 3)
La proporción áurea fue objeto de estudio también durante el siguiente milenio. Abu Kamil (c. 850–930) lo utilizaba en sus cálculos geométricos para pentágonos y decágonos. Sus estudios influyeron en ed that of Fibonacci (Leonardo de Pisa) (c. 1170–1250), quien usó esta ratio en sus problemas de geometría aunque nunca estableció una conexión con la serie de números que lleva su nombre, cosa que se haría posteriormente. Luca Pacioli usó esta ratio para poner título a una de sus obras Divina proportione (1509) donde exploraba sus propiedades incluyendo su apariencia en algunos de los Sólidos Platónicos ( poliedros convexos tal que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí,). Leonardo da Vinci, quien ilustró el libro antes mencionado, llamó a esta ratio sectio aurea (‘sección áurea’). En el siglo XVI matemáticos como Rafael Bombelli resolvieron algunos problemas de geometría utilizando esta ratio. Fué Michael Maestlin (s. XVI) el primero en especificar una aproximación decimal al número áureo.
El matemático Simon Jacob (d. 1564) descrubrió que números consecutivos de la serie de Fibonacci convergen al número áureo. Este hecho fue «redescubierto» por Johannes Kepler en 1608. La primera aproximación conocida del la proporción áurea fue una fracción decimal establecida en «0.6180340», por Michael Maestlin en 1597 en la University of Tübingen en una carta que envió a Kepler, quien fue estudiante suyo. Ese mismo año Kepler respondió a Maestlin con el Triángulo de Kepler que combina el número áureo con el Teorema de Pitágoras:
La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el Teorema de Pitágoras, y el otro la división de una línea en razón extrema y media; el primero lo podemos comparar con una medida de oro, el segundo lo podemos nombrar una joya preciosa.
Kepler
Martin Ohm usó por primera vez el término german goldener Schnitt (‘sección áurea’) para describir esta ratio en 1835. James Sully usó el término equivalente en inglés en 1875.
Fue el matemático Mark Barr quien propuso el uso de la primera letra del escultor de la Grecia Antigua Phidias, phi, como símbolo del número áureo. Normalmente se usa en minúscula (φ o φ) y se reserva la mayúscula para designar el recíproco del número áureo: 1/φ. Empezó a usar esta letra para designarlo allá por el 1910. También se ha representado con la letra griega tau (τ), la primera letra de la palabra τομή (‘sección’).
En 1974, Roger Penrose descubrío que el patrón de Penrose tiling, (Una teselación o suelo de baldosas no periódica generada por un conjunto aperiódico de baldosas prototipo nombradas en honor a Roger Penrose, quien investigó esos conjuntos en la década de los 70) está relacionada con el número áure …. to the golden ratio both in the ratio of areas of its two rhombic tiles and in their relative frequency within the pattern. This led to Dan Shechtman‘s early 1980s discovery of quasicrystals, some of which exhibit icosahedral symmetry.
Aplicaciones y observaciones
Arquitectura
Más información: Mathematics and architecture
Un análisis geométrico de 2004 sobre investigaciones anteriores en la Gran Mezquita de Kairuán revela una aplicación consistente de la proporción áurea en todo el diseño, según Boussora y Mazouz. Encontraron proporciones cercanas a la proporción áurea en la proporción general del plano y en las dimensiones del espacio de oración, el patio y el minarete. Sin embargo, los autores señalan que las áreas donde se encontraron proporciones cercanas a la proporción áurea no son parte de la construcción original y teorizan que estos elementos fueron añadidos en una reconstrucción.
El arquitecto suizo Le Corbusier, famoso por sus contribuciones al estilo internacional moderno, centró su filosofía de diseño en sistemas de armonía y proporción. La fe de Le Corbusier en el orden matemático del universo estaba estrechamente ligada a la proporción áurea y a la serie de Fibonacci, que describía como «ritmos aparentes a la vista y claros en sus relaciones mutuas. Y estos ritmos están en la raíz misma de las actividades humanas. Resuenan en el hombre por una inevitabilidad orgánica, la misma fina inevitabilidad que hace que los niños, los ancianos, los salvajes y los eruditos tracen la Sección Áurea«.
Le Corbusier utilizó explícitamente la proporción áurea en su sistema Modulor para la escala de proporción arquitectónica. Vio este sistema como una continuación de la larga tradición de Vitruvio, el «Hombre de Vitruvio» de Leonardo da Vinci, el trabajo de Leon Battista Alberti y otros que usaron las proporciones del cuerpo humano para mejorar la apariencia y la funcionalidad de la arquitectura. Además de la proporción áurea, Le Corbusier basó el sistema en medidas humanas, los números de Fibonacci y la doble unidad. Llevó la sugerencia de la proporción áurea en las proporciones humanas al extremo: seccionó la altura del cuerpo humano modelo a la altura del ombligo, con las dos secciones en proporción áurea, y luego subdividió esas secciones en proporción áurea a la altura de las rodillas y la garganta; utilizó estas proporciones de la proporción áurea en el sistema Modulor. La Villa Stein de Le Corbusier de 1927 en Garches ejemplificó la aplicación del sistema Modulor. El plano rectangular de la villa, la elevación y la estructura interna se aproximan estrechamente a los rectángulos áureos.
Otro arquitecto suizo, Mario Botta, basa muchos de sus diseños en figuras geométricas. Varias casas privadas que diseñó en Suiza están compuestas por cuadrados y círculos, cubos y cilindros. En una casa que diseñó en Origlio, la proporción áurea es la proporción entre la sección central y las secciones laterales de la casa.
En un libro reciente, el autor Jason Elliot especuló que la proporción áurea fue utilizada por los diseñadores de la Plaza Naqsh-e Jahan y la adyacente mezquita Lotfollah.
A partir de mediciones de 15 templos, 18 tumbas monumentales, 8 sarcófagos y 58 estelas funerarias desde el siglo V a.C. hasta el siglo II d.C., un investigador concluyó que la proporción áurea estuvo totalmente ausente en la arquitectura griega del siglo V a.C., y casi ausente durante los seis siglos siguientes.
Artes
Más información : Mathematics and art y History of aesthetics before the 20th century
Divina proportione (Proporción divina), una obra en tres volúmenes de Luca Pacioli, fue publicada en 1509. Pacioli, un fraile franciscano, era conocido principalmente como matemático, pero también tenía formación y un gran interés en el arte.
Divina proportione exploraba las matemáticas de la proporción áurea. Aunque a menudo se dice que Pacioli promovía la aplicación de la proporción áurea para obtener proporciones agradables y armoniosas, Livio señala que esta interpretación se remonta a un error en 1799, y que Pacioli en realidad abogaba por el sistema vitruviano de proporciones racionales. Pacioli también veía un significado religioso católico en la proporción, lo que dio lugar al título de su obra. El dibujo de un cuerpo humano en un pentagrama sugiere relaciones con la proporción áurea.
Las ilustraciones de poliedros de Leonardo da Vinci en Divina proportione han llevado a algunos a especular que incorporó la proporción áurea en sus pinturas. Sin embargo, la sugerencia de que su Mona Lisa, por ejemplo, emplea proporciones de la proporción áurea, no está respaldada por los propios escritos de Leonardo. De manera similar, aunque El hombre de Vitruvio se muestra a menudo en relación con la proporción áurea, las proporciones de la figura no coinciden realmente con ella, y el texto solo menciona proporciones de números enteros.
El filósofo del siglo XVI Heinrich Agrippa dibujó un hombre sobre un pentagrama dentro de un círculo, lo que implica una relación más directa con la proporción áurea.
Salvador Dalí, influenciado por las obras de Matila Ghyka, utilizó explícitamente la proporción áurea en su obra maestra El sacramento de la última cena. Las dimensiones del lienzo forman un rectángulo áureo. Un gran dodecaedro, en perspectiva, de modo que sus bordes aparecen en proporción áurea entre sí, está suspendido sobre y detrás de Jesús, y domina la composición.
Un estudio estadístico realizado en 1999 sobre 565 obras de arte de diferentes grandes pintores encontró que estos artistas no habían utilizado la proporción áurea en el tamaño de sus lienzos. El estudio concluyó que la proporción promedio de los dos lados de las pinturas estudiadas es de 1.34, con promedios para artistas individuales que van desde 1.04 (Goya) hasta 1.46 (Bellini). Por otro lado, Pablo Tosto enumeró más de 350 obras de artistas conocidos, incluidas más de 100 con lienzos que presentan proporciones de rectángulo áureo y raíz de 5, y otras con proporciones como raíz de 2, 3, 4 y 6.
Música
Ernő Lendvai analiza las obras de Béla Bartók como basadas en dos sistemas opuestos: el de la proporción áurea y la escala acústica, aunque otros estudiosos de la música rechazan ese análisis. El compositor francés Erik Satie utilizó la proporción áurea en varias de sus piezas, incluidas Sonneries de la Rose+Croix. La proporción áurea también es evidente en la organización de las secciones de la música de Debussy, como en Reflets dans l’eau (Reflejos en el agua), de Images (primera serie, 1905), donde «la secuencia de tonalidades se marca por los intervalos 34, 21, 13 y 8, y el clímax principal se encuentra en la posición phi«.
El musicólogo Roy Howat ha observado que los límites formales de La Mer de Debussy corresponden exactamente a la sección áurea. Trezise encuentra esta evidencia «notable», pero advierte que no hay evidencia escrita o reportada que sugiera que Debussy buscara conscientemente esas proporciones.
Pearl Drums coloca las ventilaciones de aire en sus modelos Masters Premium basándose en la proporción áurea. La compañía afirma que esta disposición mejora la respuesta de los graves y ha solicitado una patente para esta innovación.
Aunque Heinz Bohlen propuso la escala de 833 centésimos que no se repite en octavas, basada en tonos combinados, la afinación presenta relaciones basadas en la proporción áurea. Como intervalo musical, la proporción 1.618… es de 833.090… centésimos.
Naturaleza.
El número áureo aparece frecuentemente en la naturaleza y ha fascinado a matemáticos, científicos y artistas por su asociación con la estética, la armonía y el equilibrio. En la naturaleza, esta proporción se observa en diversas formas y estructuras, desde el crecimiento de plantas hasta patrones en animales y cuerpos celestes.
Ejemplos del número áureo en la naturaleza:
- Espirales de Fibonacci y los girasoles:
Las semillas de los girasoles se organizan en espirales que siguen la secuencia de Fibonacci, y la relación entre las espirales opuestas se aproxima a la proporción áurea. Esta estructura maximiza la cantidad de semillas que caben en el disco del girasol. - Hojas y crecimiento de plantas:
La disposición de las hojas alrededor del tallo de muchas plantas sigue un patrón conocido como filotaxia. Las hojas se distribuyen de manera que minimizan la sombra y optimizan la absorción de luz solar. A menudo, la relación entre las posiciones de las hojas consecutivas sigue la secuencia de Fibonacci, relacionada con la proporción áurea. - Conchas de nautilus y caracoles:
Aunque no todas las conchas siguen estrictamente la proporción áurea, muchas especies de moluscos, como el nautilus, presentan espirales logarítmicas que se aproximan a esta proporción. Estas espirales permiten el crecimiento continuo de la concha sin cambiar de forma. - Piñas y piñones:
Las piñas tienen filas de escamas que se organizan en espirales ascendentes y descendentes. Si cuentas las espirales en una dirección y luego en la opuesta, los números obtenidos suelen corresponder a términos consecutivos de la secuencia de Fibonacci, cuyo cociente se acerca a la proporción áurea. - Flor de la pasiflora:
Las flores de la planta passiflora muestran una disposición de pétalos y partes florales que se organiza según proporciones cercanas al número áureo. - Ciclones y galaxias espirales:
Los ciclones en la atmósfera terrestre y las galaxias espirales, como la Vía Láctea, suelen seguir patrones en forma de espirales logarítmicas. Aunque estos fenómenos naturales no son creados deliberadamente según la proporción áurea, sus formas están relacionadas con los mismos principios matemáticos. - Proporciones en animales:
En algunos animales, las proporciones corporales pueden aproximarse a la proporción áurea. Un ejemplo común es el cuerpo de las mariposas, donde la relación entre el tamaño de las alas y el cuerpo central a veces se aproxima a esta proporción.
Significado en la naturaleza
La razón por la que la proporción áurea aparece en tantos lugares se debe a su eficiencia en la distribución de recursos, como la luz solar o el espacio, y en la organización de estructuras de crecimiento. Aunque no siempre está presente de forma exacta, el número áureo y la secuencia de Fibonacci ofrecen un patrón que las formas naturales tienden a seguir por su funcionalidad evolutiva.
Los humanos no se salvan. El ejemplo más curioso es que, para cada individuo, el número áureo aparece como la relación de la distancia entre el ombligo y la planta, con la altura total. Además, la belleza de la proporción influye sobre la forma en que percibimos si una persona es “más o menos guapa” pues, cuanto más se acerque su cara a la distribución áurea, más prototípicamente bellas nos parecerán sus facciones.
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